Нормальные напряжения при внецентренном сжатии. Внецентренное действие продольной силы. Кручение с изгибом

Внецентренным растяжением или сжатием называется такой вид деформации стержня, при котором в его поперечном сечении возникают продольная сила и изгибающие моменты (и, быть может, поперечные силы ).

Продольная сила и изгибающие моменты могут рассматриваться как результат воздействия на стержень внецентренно приложенной силы (рис. 25). Именно поэтому такой вид сложного сопротивления называют внецентренным растяжением или сжатием.

Изгибающие моменты связаны с координатами точки приложения силы соотношениями Поэтому из (1), формулы (1) гл. 3 и принципа независимости действия сил для нормальных напряжений в произвольной точке любого поперечного сечения с координатами х, у получим

Нейтральная ось при внецентренном растяжении или сжатии. Уравнение нейтральной оси поперечного сечения, в точках которой напряжения равны нулю, имеет в данном случае вид

Нетрудно видеть, что нейтральная ось не проходит через центр тяжести сечения. Остальные свойства такие же, как и при косом изгибе. Дополнительно укажем еще одно свойство нейтральной оси при внецентренном растяжении или сжатии: нейтральная ось не пересекает той четверти сечения, в которой приложена сила

Ядро сечения. Положение нейтральной оси, как видно из уравнения (4), зависит от координат точки приложения силы Если точка приложения силы располагается достаточно близко к центру тяжести сечения, в области, которая называется ядром сечения, то нейтральная ось проходит за пределами поперечного сечения, т.е. все точки сечения испытывают нормальные напряжения одного знака. На рис. 26 показаны ядра для прямоугольного и кругового сечений.

Условия прочности при внецентренном растяжении или сжатии имеют вид ограничений на максимальные нормальные напряжения.

Пример. Вычислить максимальные нормальные напряжения в поперечном сечении внецентренно сжатого стержня прямоугольного сечения при (рис. 27). Точка К приложения силы имеет координаты (рис. 27, б).

Решение. Вычислим геометрические характеристики сечения:

Уравнение нейтральной оси (4) принимает вид Из ее расположения (рис. 27, б) видно, что В и С - наиболее напряженные точки

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

КАФЕДРА «ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИЕ ДИСЦИПЛИНЫ»

НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ВНЕЦЕНТРЕННОМ

РАСТЯЖЕНИИ ИЛИ СЖАТИИ

Методические указания

РПК «Политехник»

Волгоград

2007

УДК 539. 3/.6 (07)

Экспериментальное исследование распределения напряжений при внецентренном растяжении или сжатии: Методические указания / Сост. , ; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2007. – 11 с.

Подготовлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Сопротивление материалов» и предназначены в помощь студентам, обучающимся по направлениям: 140200.

Ил. 5. Табл. 2. Библиогр.: 4 назв.

Рецензент: к. т. н., доцент

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

Составители: Александр Владимирович Белов, Наталья Георгиевна Неумоина

Анатолий Александрович Поливанов

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ВНЕЦЕНТРЕННОМ

РАСТЯЖЕНИИ ИЛИ СЖАТИИ

Методические указания

Темплан 2007 г., поз. № 18.

Подписано в печать г. Формат 60×84 1/16.

Бумага листовая. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 0,69. Усл. авт. л. 0,56.

Тираж 100 экз. Заказ №

Волгоградский государственный технический университет

400131 Волгоград, просп. им. , 28.

РПК «Политехник»

Волгоградского государственного технического университета

400131 Волгоград, ул. Советская, 35.

© Волгоградский

государственный

технический

Университет 2007

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10

Тема: Экспериментальное исследование распределения напряжений при внецентренном растяжении или сжатии.

Цель работы : Определить опытным путем величину нормальных напряжений в заданных точках поперечного сечения.

Время проведения : 2 часа.

1. Краткие теоретические сведения

Внецентренное сжатие – сложная деформация. Её можно представить как совокупность 3-х простых деформаций (общий случай – см. рис. 1) или 2-х простых деформаций (частный случай – см. рис.2).

Общий случай

Частный случай

Все поперечные сечения бруса, испытывающего внецентренное сжатие являются равноопасными.

Там возникают одновременно три внутренних силовых фактора (общий случай):

· продольная сила N ;

· изгибающий момент М x ;

· изгибающий момент М y ,

и два внутренних силовых фактора (частный случай):

· продольная сила N ;

· изгибающий момент Мх и М y .

Этим внутренним силовым фактором соответствуют только нормальные напряжения, величину которых можно определить по формулам:

где А – площадь поперечного сечения бруса (м2 );

Ix ; Iy – главные центральные моменты инерции (м4 ).

Для прямоугольного сечения:

у х ;

х – расстояние от точки, в которой определяется напряжение, до оси у .

Согласно принципу независимости действия сил, напряжение в любой точке поперечного сечения при внецентренном сжатии определяется по формулам:

, (3)

. (4)

А при внецентренном растяжении:

. (5)

Знак перед каждым слагаемым выбирается в зависимости от вида сопротивления: растяжению соответствует знак «+», сжатию «-».

Для определения напряжения в угловой точке сечения используется формула:

, (6)

где Wx , Wy – моменты сопротивления поперечного сечения относительно главных центральных осей инерции поперечного сечения (м3 ).

Для прокатных профилей: двутавра, швеллера и т. п. моменты сопротивления приводятся в таблицах.

DIV_ADBLOCK127">

Аналогично определится знак у напряжения σМу . В этом случае сечение закрепляется по оси у (см. рис. 3 в).

2. Краткие сведения об оборудовании и образце

Схема испытания

Испытание на внецентренное растяжение производят на машине УММ-50 . Образец – стальная полоса прямоугольного поперечного сечения размерами в ´ h = 1,5 ´ 15 см . Испытание на внецентренное сжатие производят на разрывной машине Р-10 . Образец – короткая двутавровая стойка. Номер профиля 12 .

Описание используемых в данной работе машин подробно приводится в руководстве для выполнения лабораторной работы № 1.

В качестве измерительной аппаратуры здесь используются тензометрические датчики и прибор ИДЦ-I, принцип действия которых подробно изложен в руководстве для выполнения лабораторной работы № 3.

3. Выполнение лабораторной работы

3.1. Подготовка к эксперименту

1. Записать в отчет цель работы, сведения об оборудовании и материале испытываемых образцов.

2. Вычертите схему испытания, занести в отчет требуемые размеры образца.

3. Определить требуемые геометрические характеристики:

· для прямоугольника по формулам (2);

· для двутавра из таблицы сортамента.

Определить расстояния от заданных точек до оси х . Определить максимальное и минимальное значение силы F, а также значение ступени нагружения ΔF. Занести нагрузку в первую графу табл. 1.

(Примечание : максимальное значение силы F определяется по паспорту установки с учетом коэффициента концентрации напряжений исходя из условия, что расчетное значение напряжения не должно превышать предела текучести материала образца.)

Вычислить значение внутренних силовых факторов:

N = F ; Mx = F × y .

В зависимости от схемы испытания вычислить нормальное напряжение в указанных точках поперечного сечения по формулам (5) или (6). Значение напряжений записать в графу 3 табл. 2.

3.2. Экспериментальная часть

1. Произвести испытание, зафиксировав при заданных значениях нагрузки показание всех трех тензодатчиков по прибору ИДЦ-I.

2. Число измерений по каждому тензодатчику должно составлять не менее пяти. Данные записать в табл. 1.

3.3. Обработка опытных данных

1. Определить приращение показаний каждого тензодатчика

2. Определить среднее значение приращений:

https://pandia.ru/text/78/445/images/image021_18.gif" width="121" height="40 src=">.

7. Сделать выводы по работе.

Лабораторная работа №10

Тема:

Цель работы:

Теоретическое определение напряжений

Опытное определение напряжений

Таблица 1

Сравнение теоретических и опытных результатов

Таблица 2

Эпюры напряжений с нанесением нулевой линии

Выводы

Работу выполнил студент:

Контрольные вопросы

1. Как получить деформацию внецентренное сжатие (растяжение)?

2. Из каких простых деформаций состоит сложная деформация внецентренное сжатие (растяжение)?

3. Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечном сечении внецентренно сжатого бруса?

4. Как определяется их величина?

5. Какое сечение внецентренного сжатого бруса является опасным?

6. Как определить величину напряжений от каждого из внутренних силовых факторов в любой точке поперечного сечения?

7. По каким формулам определяются моменты инерций прямоугольного сечения относительно главных центральных осей инерции? Каковы единицы их измерения?

8. Как определить знак у напряжения от внутренних силовых факторов при внецентренном растяжении (сжатии)?

9. Какая гипотеза положена в основу определения напряжений при внецентренном сжатии? Сформулируйте её.

10. Формула для определения напряжений в любой точке поперечного сечения при внецентренном сжатии.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Феодосьев материалов. М.:Изд-во МГТУ, 2000 – 592c.

2. и др. Сопротивление материалов. Киев: Высшая школа, 1986. – 775с.

3. Степин материалов. М.: Высшая школа, 1988. – 367с.

4. Сопротивление материалов. Лабораторный практикум./, и др. М.: Дрофа, 2004. – 352с.

Рассмотрим прямой стержень, нагруженный на торце силами, направленными параллельно оси Ох. Равнодействующая этих сил F приложена в точке С. В локальной правосторонней системе координат yOz , совпадающей с главными центральными осями сечения, координаты точки С равны а и b (рис. 5.18).

Заменим приложенную нагрузку статически эквивалентной ей системой сил и моментов. Для этого перенесем равнодействующую силу F в центр тяжести сечения О и догрузим стержень двумя изгибающими моментами, равными произведению силы Т^на ее плечи относительно осей координат: M ff = Fa и M z = Fb.

Отметим, что по правилу правосторонней системы координат для точки С, лежащей в первой четверти, изгибающие моменты формально получат сле-

Рис. 5.18. Прямой стержень, нагруженный на торце силами, направленными параллельно оси Ох

дующие знаки: М у = Fa и М 7 = -Fb. При этом в элементарной площадке, лежащей в первой четверти, оба момента вызывают растягивающее напряжение.

Используя принцип независимости действия сил, определим напряжения в текущей точке сечения с координатами у и z от каждого силового фактора отдельно. Общее напряжение получим суммированием всех трех составляющих напряжений:

Определим положение нейтральной оси. Для этого в соответствии с формулой (5.69) приравняем к нулю значение нормального напряжения в текущей точке:

В результате простых преобразований получим уравнение нейтральной линии

где i y и i z - главные радиусы инерции , определяемые по формулам (3.14).

Таким образом, в случае внецентренного растяжения-сжатия нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения (рис. 5.19), на что указывает наличие в уравнении (5.70) отличающегося от нуля свободного члена.

Максимальные напряжения возникают в точках сечения А и В, наиболее удаленных от нейтральной линии. Установим соотношение между координатами точки приложения силы и положением нейтральной линии. Для этого определим точки пересечения этой линией координатных осей:

Рис. 5.19.

Полученные формулы показывают, что координата точки приложения силы а и координата точки пересечения нейтральной линией оси координат Oz (точка г 0) имеют противоположные знаки. То же самое можно сказать о величинах b и у 0 . Таким образом, точка приложения равнодействующей силы и нейтральная линия находятся по разные стороны относительно начала координат.

Согласно полученным формулам при приближении точки приложения силы к центру тяжести сечения нейтральная линия отдаляется от центральной зоны. В предельном случае (а = b = 0) приходим к случаю центрального растяжения-сжатия.

Представляет интерес определение зоны приложения силы, при котором напряжения в сечении будут иметь одинаковый знак. В частности, для материалов, плохо сопротивляющихся растяжению, сжимающую силу рационально прилагать именно в этой зоне, чтобы в сечении действовали только сжимающие напряжения. Такая зона вокруг центра тяжести сечения называется ядром сечения.

Если сила приложена в ядре сечения, то нейтральная линия не пересекает сечение. В случае приложения силы по границе ядра сечения нейтральная линия касается контура сечения. Для определения ядра сечения можно использовать формулу (5.71).

Если нейтральную линию представить как касательную к контуру сечения и рассмотреть все возможные положения касательной и соответствующие этим положениям точки приложения силы, то точки приложения силы очертят ядро сечения.

Рис. 5.20.

а - эллипс; 6 - прямоугольник

Сила Р приложена в точке с координатами – х р, у р.

В этом случае говорят, что нагрузка по отношению к продольной оси z приложена с эксцентриситетом е (рис.8.2).

Напряжения в произвольной точке поперечного сечения определяются по формуле (8.3):

(8.3)

(+) перед выражением (8.3) соответствует внецентренному растяжению,

(–) - сжатию.

х, y – координаты точки, в которой определяются нормальные напряжения.

Условие прочности при внецентренном приложении нагрузки записывается для опасных точек А и В , наиболее удаленных от нейтральной линии.

(8.4)

Здесь - квадраты радиусов инерции.

R – расчетное сопротивление материала растяжения или сжатия.

8.2.2. Уравнение нейтральной линии

На нейтральной линии нормальные напряжения равны нулю.

Приравняв нулю выражение (8.3) получим уравнения нейтральной линии

(8.5)

x N , y N – координаты точек, лежащих на нейтральной линии.

Решая полученное уравнение (8.5) в отрезках по осям координат, можно определить положение нейтральной линии.

(8.6)

8.2.3. Ядро сечения

Многие строительные материалы хорошо работают на сжатие и практически не воспринимают растягивающих деформаций: бетон, кирпичная кладка. Поэтому возникает задача определения такой области в поперечном сечении бруса, чтобы прикладываемая внутри нее нагрузка, вызывала по всему сечению напряжения одного знака. Такая область называется ядром сечения. Ядро сечения – область, расположенная вокруг центра тяжести сечения, приложенная внутри которой нагрузка, вызывает по всему поперечному сечению напряжения одного знака.

Для построения ядра сечения задаются положениями нейтральной линии, совпадающей со сторонами сечения N i (х N и у N ) и в соответствии с формулой (8.5) определяют две координаты точки приложения силы соответствующей этой линии

Проведя по всему контуру сечения нейтральные линии, получим n точек. На основании теоремы о вращении нейтральной линии, соединив последовательно полученные точки, получим ядро сечения (рис. 8.3). Для прямоугольного поперечного сечения ядром сечения является ромб.

Устойчивость сжатых стержней

Общие положения

Явление потери устойчивости сжатого стержня наблюдается в том случае, когда при известной форме и размерах поперечного сечения его длина превышает определенное значение.

При потере устойчивости элемента происходит нарушение первоначальной прямолинейной формы равновесия.

Различают устойчивое (а ), безразличное (b ) и не устойчивое (с ) состояние равновесия (рис. 9.1).

Продольный изгиб опасен тем, что происходит большое нарастание прогибов при малом росте сжимающей нагрузки.

Потеря устойчивости гибких стержней наступает при сравнительно небольших сжимающих напряжениях, которые с точки зрения прочности материала являются не опасными.

Внецентренное растяжение (сжатие) вызывается силой, параллельной оси бруса, но не совпадающей с ней (рис. 9.4).

Проекция точки приложения силы на поперечное сечение называется полюсом или силовой точкой, а прямая, проходящая через полюс и центр сечения, - силовой линией.

Внецентренное растяжение (сжатие) может быть сведено к осевому растяжению (сжатию) и косому изгибу, если перенести силу Р в центр тяжести сечения. Так, сила Р, отмеченная на рис. 9.4 одной черточкой Г вызовет осевое растяжение бруса, а пара сил, отмеченных двумя черточками, - косой изгиб.

На основании принципа независимости действия сил напряжения в точках поперечного сечения при внецентренном растяжении (сжатии) определяются по формуле

В эту формулу осевую силу изгибающие моменты а также координаты точки сечения, в которой определяется напряжение, надо подставлять с их знаками. Для изгибающих моментов примем такое же правило знаков, как и при косом изгибе, а осевую силу будем считать положительной, когда она вызывает растяжение.

Если координаты полюса обозначить через , то момент Формула (9.5) принимает вид

Из этого уравнения видно, что концы векторов напряжений в точках сечения расположены на плоскости. Линия пересечения плоскости напряжений с плоскостью поперечного сечения является нейтральной линией, уравнение которой находим, приравнивая правую часть равенства (9.6) нулю. После сокращения на Р получим

Таким образом, нейтральная линия при внецентренном растяжении (сжатии) не проходит через центр тяжести сечения и не перпендикулярна плоскости действия изгибающего момента. Нейтральная линия отсекает на осях координат отрезки

Представим моменты инерции как произведения площади сечения на квадрат соответствующего радиуса инерции

Тогда выражения (9.8) можно записать так:

Из формул (9.8) видно, что полюс и нейтральная линия всегда расположены по разные стороны от центра тяжести сечения, причем положение нейтральной линии определяется координатами полюса.

При приближении полюса по силовой линии к центру тяжести сечения нейтральная линия будет удаляться от центра, оставаясь параллельной своему первоначальному направлению. В пределе при нейтральная линия удалится в бесконечность. В этом случае будет иметь место центральное растяжение (сжатие) бруса.

На силовой линии всегда можно найти такое положение полюса, при котором нейтральная линия будет касаться контура сечения, нигде не пересекая его. Если провести все возможные нейтральные линии так, чтобы они касались контура сечения, нигде не пересекая его, и найти соответствующие им полюсы, то окажется, что полюсы будут расположены на вполне определенной для каждого сечения замкнутой линии. Область, ограниченная этой линией, называется ядром сечения. В круглом сечении, например, ядро представляет собой круг диаметром в 4 раза меньшим диаметра сечения, а в прямоугольных и двутавровых сечениях ядро имеет форму параллелограмма (рис. 9.5).

Из самого построения ядра сечения следует, что до тех пор, пока полюс находится внутри ядра, нейтральная линия не пересечет контур сечения и напряжения во всем сечении будут одного знака. Если, же полюс расположен вне ядра, то нейтральная линия пересечет контур сечения, и тогда в сечении будут действовать напряжения разного знака. Указанное обстоятельство необходимо учитывать при расчете на виецентренное сжатие стоек из хрупких материалов. Поскольку хрупкие материалы плохо воспринимают растягивающие нагрузки, то желательно внешние силы прикладывать к стойке так, чтобы во всем сечении действовали только напряжения сжатия. Для этого точка приложения равнодействующей внешних сил, сжимающих стойку, должна находиться внутри ядра сечения.

Расчет на прочность при внецентренном растяжении и сжатии производится так же, как и при косом изгибе, - по напряжению в опасной точке поперечного сечения. Опасной является точка сечения, наиболее удаленная от его нейтральной линии. Однако в тех случаях, когда в этой точке действует напряжение сжатия, а материал стойки хрупкий, опасной может быть точка, в которой действуй наибольшее растягивающее напряжение.

Эпюра напряжений строится на оси, перпендикулярной к нейтральной линии сечения, и ограничена прямой линией (см. рис. 9,4).

Условие прочности запишется так.